LA SUPERFICIE Y EL VOLUMEN DE UNA ESFERA -- según Arquímedes--

Tenemos que mirar hacia atrás, época de Arquímedes, que fue el primero que lo halló usando todos los conocimientos que vosotros teneis (Teorema de Pitágoras, cuerpos geométricos redondos, etc...) sin tener que recurrir a otros procedimientos posteriores que requieren matemáticas superiores (análisis, derivadas, integrales, etc...)



Como hemos dicho en clase, la superficie de una esfera es 4 veces la superficie del círculo máximo que se puede conseguir de esa esfera, es decir, 4πR2. No es fácil de demostrar ya que la esfera no se puede desarrollar sobre un plano como el resto de poliedros o cuerpos redondos. Primero intentó de forma práctica midiendo de 2 maneras.
* cogió papiros con forma de círculo y de radio el mismo que el de la esfera, lo partió en diminutos trozos y los pegó hasta terminar de cubrirla y observó que gastaba 4 exactamente. Pero le quedaban dudas...
* cubrió la esfera, o mejor dicho una semiesfera, con cuerda de grosor conocido del mismo modo que cubrimos una peonza con la cuerda que le va a hacer girar, y observó que gastaba la cuerda equivalente a la de cubrir 2 círculos con misma medida del radio de la esfera. Luego, con una esfera cubriría 4 círculos (cuya superficie es πR2). Pero le quedaban dudas... Habría que buscar otra manera más elegante...


Observó que una semiesfera cabía en un cilindro de mismo radio y con altura el radio, y a su vez un cono con mismo radio y misma altura (el radio) cabía dentro de la semiesfera, parece que había una relación entre los volúmenes de las 3 figuras...


El volumen de una esfera es 4πR3/ 3. Si conseguimos demostrar una de las dos propiedades, superficie o volumen de la esfera, la otra queda después demostrada.




Arquímedes cogió una semiesfera, un cono y un cilindro, los tres con la misma base (círculo máximo de la semiesfera) y con la misma altura (el radio máximo). Si cortaba a una misma altura por un plano paralelo a las bases, podía ver que la superficie del círculo de la semiesfera + superficie del círculo del cono = superficie del círculo del cilindro. A estas superficies les llamó secciones de cada cuerpo geométrico.
Sesfera + Scono = Scilindro En la sección de la esfera se cumple que superficie círculo pi·(R²-d²), usando el teorema de Pitágoras. En la sección del cono se cumple que la superficie del círculo del cono a una distancia d, es pi· d², ya que coincide el radio con la altura a que se corta el cono. Si sumamos ambos círculos obtenemos pi· ( R² – d²)+pi· d²= pi· R² , que es la superficie de la sección del cilindro. Y esa propiedad ocurre para cualquier distancia a la que cortemos. Si multiplicamos por la altura final de cada uno, que es R, obtenemos Volumen semiesfera + Volumen cono = Volumen cilindro, es decir, Vsemiesfera = Vcilindro - Vcono, estos últimos conocidos conocidas sus dimensiones, pi· R² ·R - pi· R² ·R / 3 = πR³ - πR³ / 3 = 2πR³/ 3 .
Entonces, si media esfera es 2πR³/ 3, una esfera es el doble de volumen, es decir 2·2πR³/ 3 = 4πR³/ 3.
Ahora que sabemos el volumen de la esfera podemos averiguar la superficie de una esfera. Si juntáramos un montón de pirámides de base pequeña, casi puntual, de una misma altura para hacer un ramillete, obtendríamos algo así como una aproximación a la esfera a base de pirámides unidas en un punto común (el centro de la esfera), y cuya altura sería el radio de la esfera que estamos formando. La suma de volúmenes de pirámides de misma altura es igual 1/3 ·h· (suma de la superficies de las bases); en este ramillete el volumen total es el de la esfera, 4πR³/ 3, la altura de la pirámide es R, y la superficie de todas las bases de las pirámides es la superficie de la esfera que lo forma.
Por tanto, 1/3· R· Sesfera = Volumen esfera = 4πR³/ 3. Dividiendo la ecuación por 1/3 y por R, obtenemos que Sesfera = 4πR²